Counter Näited

Link: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.counter.html

Counter näiteid mängivad olulist rolli matemaatika. Arvestades, et keeruline tõend võib olla ainus viis näidata kehtivuse eelkõige teoreem, üks loendur näiteks on kõik, mis on vaja ümber lükata kehtivuse kavandatava teoreem. Näiteks numbrid kujul 22n + 1, kus n on positiivne täisarv, olid kunagi arvati, et peaminister. Need numbrid on peaministri jaoks n = 1, 2, 3 ja 4. Aga kui n = 5, siis saame

225 + 1 = 4294967297 = (641)(6700417)
komposiit number. Järeldus: Kui vastamisi number kujul 22n + 1, me ei tohi eeldada, et see on kas peaminister või komposiit, kui me teame, kindlasti mõnel muul põhjusel.

q

Looduslik koht counter näited, et tekkida, on see, kui räägivad tuntud teoreem satub küsimus. vestlema on väide vormis “Kui P, Siis Q” on väide, “Kui Q, Siis P”.

Näide: Alates Calculus

Calculus sa õpid, et kui funktsioon on differentiable kohas, siis see on pidev sel hetkel. Mis oleks vastupidine väita? Ta oleks öelda, et kui funktsioon on pidev punktis, siis on differentiable sel hetkel. Aga sa tead see on vale. Counter näiteks on f(x) = |x|. See funktsioon on pidev kell x = 0, kuid see ei ole differentiable kell x=0. See on üks counter näiteks on kõik me vajame, et kummutada vastupidine.

q

Näide: Ratsionaalne & Irratsionaalne Numbrid

Kui a ja b on ratsionaalne numbrid, siis on a+b. Tõend on väga lihtne. Mida määratlus ratsionaalne number, a = p/q ja b = s/t mõnel neljakordne, täisarvud, p, q, s ja t ning selline, et q ja t on nullist erinev. Summa a+b = p/q + s/t = (t + q s)/(q, t), ratsionaalne number määratlus. Mis oleks vastupidine öelda? See oleks väita “Kui a ja b on reaalarvud selline, et a + b on ratsionaalne number, siis a ja b on ratsionaalne numbrid.” Kuid see on vale. Lihtsalt olgu a = sqrt(2) + 1, kus sqrt-ruutjuur, ja b = – sqrt(2). Ei ole ei a ega b on ratsionaalne numbrid, kuid a + b = 1, mis on ratsionaalne.

q

Harjutusi

  1. Riigi vastupidine “Kui a ja b on isegi täisarvud, siis a+b on isegi täisarv”. Näita, et vastupidine ei ole tõene, esitades vastupidine näide.
  2. Riigi vastupidine “Kui a, b ja c on reaalarvud selline, et a + b = c, siis a+b)2 = c2“. Näita, et vastupidine ei ole tõene, esitades vastupidine näide.
  3. Riigi vastupidine “Kui a, b ja c on täisarvud nii, et jagab b, siis jagab toote bc.” Näita, et vastupidine ei ole tõene, esitades vastupidine näide.
  4. Riigi vastupidine “Kui a ja b on ratsionaalne numbrid, siis nii on toote ab”. Näita, et vastupidine ei ole tõene, esitades vastupidine näide.

Leave a Reply