DE FIBONACCI SEQUENTIE, SPIRALEN EN HET GOUDEN GEMIDDELDE

Link: https://euclid.math.temple.edu/~reich/Fib/fibo.html

De Fibonacci-reeks vertoont een bepaald numeriek patroon dat is ontstaan ​​als het antwoord op een oefening in de allereerste algebra-tekst op de middelbare school. Dit patroon bleek een interesse en een belang te hebben dat veel verder reikte dan wat de maker dacht. Het kan worden gebruikt om een ​​verbazingwekkende verscheidenheid aan verschijnselen te modelleren of beschrijven, in wiskunde en wetenschappen, kunst en natuur. De wiskundige ideeën waar de Fibonacci-reeks toe leidt, zoals de gulden snede, spiralen en zelf-gelijke curven, worden al lang gewaardeerd om hun charme en schoonheid, maar niemand kan echt uitleggen waarom ze zo duidelijk weerklinken in de kunst- en natuur.

Het verhaal begon in het jaar 1202 in Pisa, Italië. Leonardo Pisano Bigollo was een jonge twintiger, lid van een belangrijke handelsfamilie in Pisa. Tijdens zijn reizen door het Midden-Oosten was hij gefascineerd door de wiskundige ideeën die vanuit India door de Arabische landen naar het westen waren gekomen. Toen hij terugkeerde naar Pisa publiceerde hij deze ideeën in een boek over wiskunde, genaamd Liber Abaci , dat een mijlpaal in Europa werd. Leonardo, die sindsdien bekend is geworden als Fibonacci , werd de meest gevierde wiskundige van de Middeleeuwen. Zijn boek was een discours over wiskundige methoden in de handel, maar wordt nu voornamelijk herinnerd voor twee bijdragen, een duidelijk belangrijk in die tijd en een schijnbaar onbeduidend.

De belangrijkste: hij bracht het Hindoestaanse systeem onder de aandacht bij het schrijven van nummers. Europese handelaars en wetenschappers klampten zich nog steeds vast aan het gebruik van de oude Romeinse cijfers; moderne wiskunde zou onmogelijk zijn geweest zonder deze verandering in het hindoeïstische systeem, dat we nu de Arabische notatie noemen, omdat het in westelijke richting door Arabische landen kwam.

De andere: Fibonacci, weggestopt in een lijst met hersenkrakers, stelde de volgende vraag:

Als een paar konijnen in een afgesloten gebied wordt geplaatst, hoeveel konijnen worden er dan geboren als we ervan uitgaan dat elke maand een paar konijnen een nieuw paar produceren en dat konijnen jong twee maanden na hun geboorte jong beginnen te worden?

Deze schijnbaar onschuldige kleine vraag heeft als antwoord een bepaalde reeks getallen, nu bekend als de Fibonacci-reeks , die een van de meest interessante ooit is opgeschreven. Het is herontdekt in een verbazingwekkende verscheidenheid aan vormen, in takken van de wiskunde veel verder dan eenvoudige rekenkunde. De methode van ontwikkeling heeft geleid tot verreikende toepassingen in wiskunde en informatica.

Maar nog fascinerender is het verrassende uiterlijk van Fibonacci-getallen en hun relatieve verhoudingen, in arena’s ver verwijderd van de logische structuur van de wiskunde: in de natuur en in de kunst, in klassieke theorieën over schoonheid en verhoudingen.

Overweeg een elementair voorbeeld van geometrische groei – aseksuele reproductie, zoals die van de amoebe. Elk organisme splitst zich in tweeën na een rijpingstijd karakteristiek voor de soort. Dit interval varieert willekeurig, maar binnen een bepaald bereik, afhankelijk van externe omstandigheden, zoals temperatuur, beschikbaarheid van voedingsstoffen, enzovoort. We kunnen ons een vereenvoudigd model voorstellen waarin, onder perfecte omstandigheden, alle amoeben na dezelfde groeiperiode worden gesplitst.

Dus, één amoebas wordt twee, twee worden 4, dan 8, 16, 32, enzovoort.

We krijgen een verdubbeling van de volgorde . Let op de recursieve formule:

  • An = 2An

Dit leidt natuurlijk tot exponentiële groei , een kenmerkend patroon van bevolkingsgroei.


Nu, in de konijnensituatie van Fibonacci, is er een lagfactor; elk paar heeft wat tijd nodig om te rijpen. Dus we gaan ervan uit

  • rijpingstijd = 1 maand
  • draagtijd = 1 maand

Als je dit in je achtertuin zou proberen, is dit wat er zou gebeuren:


Laat de computer nu nog een paar lijnen tekenen:



Het patroon dat we hier zien, is dat elk cohort of generatie deel blijft uitmaken van het volgende en dat elk volwassen paar bovendien een babypaar draagt. Het aantal van dergelijke baby-paren komt overeen met het totale aantal paren in de vorige generatie. Symbolisch

  • n = aantal paren gedurende maand n
  • n = f n-1 + f n-2

We hebben dus een recursieve formule waarbij elke generatie wordt gedefinieerd in termen van de vorige twee generaties. Met deze aanpak kunnen we achtereenvolgens fn berekenen voor zoveel generaties als we willen.

Dus deze reeks van getallen 1,1,2,3,5,8,13,21, … en de recursieve manier om het oneindig te construeren, is de oplossing voor de Fibonacci-puzzel. Maar wat Fibonacci niet kon voorzien was de talloze toepassingen die deze nummers en deze methode uiteindelijk zouden hebben. Zijn idee was vruchtbaarder dan zijn konijnen. Alleen in termen van pure wiskunde – getaltheorie, geometrie, enzovoort – was de reikwijdte van zijn idee zo groot dat er een volledig vakblad aan is gewijd – het Quarterly Fibonacci .

Laten we nu eens kijken naar een andere redelijk natuurlijke situatie waarin dezelfde reeks “op mysterieuze wijze” opduikt. Ga 350 jaar terug tot het 17e-eeuwse Frankrijk. Blaise Pascal is een jonge Fransman, een geleerde die wordt verscheurd tussen zijn plezier in geometrie en wiskunde en zijn liefde voor religie en theologie. In een van zijn meer wereldlijke momenten wordt hij geraadpleegd door een vriend, een professionele gokker, de Chevalier de Mé ré , Antoine Gombaud. De Chevalier vraagt ​​Pascal wat vragen over spelen bij dobbelstenen en kaarten en over de juiste verdeling van de inzet in een onafgewerkt spel. De reactie van Pascal is om een ​​geheel nieuwe tak van de wiskunde, de waarschijnlijkheidstheorie, uit te vinden. Deze theorie is in de loop der jaren uitgegroeid tot een vitaal 20ste-eeuws hulpmiddel voor wetenschap en sociale wetenschappen. Het werk van Pascal leunt zwaar op een verzameling cijfers die nu de driehoek van Pascal wordt genoemd , en wordt als volgt weergegeven:

Deze configuratie heeft veel interessante en belangrijke eigenschappen:

  • Let op de links-rechts symmetrie – het is zijn eigen spiegelbeeld.
  • Merk op dat in elke rij het tweede getal de rij telt.
  • Merk op dat in elke rij de 2e + de 3e het aantal getallen boven die lijn telt.

Er zijn eindeloze variaties op dit thema.

Merk vervolgens op wat er gebeurt als we de getallen in elke rij optellen – we krijgen onze verdubbelingsreeks.

Teken nu voor visueel gemak de driehoek links uitgelijnd. Tel de cijfers op de verschillende diagonalen bij elkaar …

en we krijgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. . . de Fibonacci-reeks!

Fibonacci had dit verband tussen zijn konijnen en de waarschijnlijkheidstheorie niet kunnen weten – de theorie bestond pas 400 jaar later.

Wat echt interessant is aan de Fibonacci-sequentie, is dat het groeipatroon op een of andere mysterieuze manier overeenkomt met de krachten die de groei besturen in een grote verscheidenheid van natuurlijke dynamische systemen. Geheel analoog aan de reproductie van konijnen, laten we de stamboom van een bij beschouwen – dus we kijken eerder naar voorouders dan naar afstammelingen. In een vereenvoudigd reproductiemodel komt een bij uit een bevruchte eicel en daarom heeft hij maar één ouder, terwijl een vrouw uit een bevruchte eicel komt en twee ouders heeft. Hier is de stamboom van een typische mannetjesbij:

Merk op dat dit lijkt op de konijntjesgrafiek, maar achteruitgaat in de tijd. De mannelijke voorouders in elke generatie vormen een Fibonacci-reeks, evenals de vrouwelijke voorouders, net als het totaal. Je kunt aan de boom zien dat de bijenvrouw door vrouwen wordt gedomineerd.

De beroemdste en mooiste voorbeelden van het voorkomen van de Fibonacci-reeks in de natuur zijn te vinden in een verscheidenheid aan bomen en bloemen, meestal geassocieerd met een soort spiraalstructuur. Bijvoorbeeld, bladeren aan de stengel van een bloem of een tak van een boom groeien vaak in een spiraalvormig patroon, spiraalvormig rond de tak als nieuwe bladeren zich verder vormen. Stel je dit voor: je hebt een filiaal in je hand. Richt je aandacht op een bepaald blad en begin rond en naar buiten te tellen. Tel de bladeren en tel ook het aantal windingen rond de tak, totdat je terugkeert naar een positie die overeenkomt met het oorspronkelijke blad maar verder langs de tak. Beide nummers zijn Fibonacci-nummers.

Voor een perenboom bijvoorbeeld, zijn er 8 bladeren en 3 beurten. Hier zijn nog enkele voorbeelden:

Takken van de Fibonacci-familie
Boom bladeren Turns
Iep 2 1
Kers 3 2
Beuken 3 1
Populier 5 2
Treurwilg 8 3
Peer 8 3
Amandel 13 8

Je kunt een wandeling maken in een park en dit patroon op planten en struiken vrij gemakkelijk vinden.

Veel bloemen bieden een mooie bevestiging van de mystiek van Fibonacci. Een madeliefje heeft een centrale kern die bestaat uit kleine roosjes die in tegengestelde spiralen zijn gerangschikt. Er zijn meestal 21 naar links en 34 naar rechts. Een bergaster kan 13 spiralen naar links en 21 naar rechts hebben. Zonnebloemen zijn het meest spectaculaire voorbeeld, meestal met 55 spiralen op een manier en 89 op de andere; of, in de beste variëteiten, 89 en 144.

Dennenappels worden ook op een spiraalvormige manier geconstrueerd, kleintjes hebben gewoonlijk met 8 spiralen de ene kant op en de andere kant op. Het meest interessant is de ananas – gebouwd van aangrenzende zeshoeken, drie soorten spiralen verschijnen in drie dimensies. Er zijn 8 aan de rechterkant, 13 aan de linkerkant en 21 verticaal – een Fibonacci-triple.

Waarom zou dit zijn? Waarom heeft Moeder Natuur een evolutionair voordeel gevonden bij het ordenen van plantstructuren in spiraalvormige vormen met de Fibonacci-reeks?

We hebben geen zeker antwoord. In 1875 gaf een wiskundige met de naam Wiesner een wiskundige demonstratie dat de spiraalvormige rangschikking van bladeren op een tak in Fibonacci-verhoudingen een efficiënte manier was om een ​​maximumhoeveelheid zonlicht te verzamelen met een paar bladeren – beweerde hij, de beste manier. Maar recentelijk besloot een botanicus van de Cornell University, Karl Niklas, om deze hypothese in zijn laboratorium te testen; hij ontdekte dat bijna elke redelijke rangschikking van bladeren hetzelfde vermogen heeft om zonlicht te verzamelen. Dus we zijn nog steeds in het donker over licht.

Maar als we denken in termen van natuurlijke groeipatronen, denk ik dat we de aanwezigheid van spiralen en de verbinding tussen spiralen en de Fibonacci-reeks kunnen beginnen te begrijpen.

Spiralen komen voort uit een eigenschap van groei genaamd zelf-gelijkenis of schaling – de neiging om in omvang te groeien maar dezelfde vorm te behouden. Niet alle organismen groeien op deze zelf-gelijkende manier. We hebben gezien dat volwassen mensen bijvoorbeeld niet alleen geschubde baby’s zijn: baby’s hebben grotere hoofden, kortere benen en een langere torsie in verhouding tot hun lengte. Maar als we bijvoorbeeld naar de schaal van de chambered nautilus kijken, zien we een ander groeipatroon. Terwijl de nautilus elke kamer ontgroeit, bouwt ze nieuwe kamers voor zichzelf, altijd dezelfde vorm – als je je een nautilus met een zeer lange levensduur voorstelt, zou de schaal rond en rond draaien, steeds groter worden maar er altijd precies hetzelfde uitzien op elke schaal.

Hier komt Fibonacci om de hoek kijken – we kunnen een squarish soort nautilus bouwen door te beginnen met een vierkant van maat 1 en vervolgens voort te bouwen op nieuwe kamers waarvan de afmetingen overeenkomen met de Fibonacci-reeks:

Door de middelpunten van de vierkanten lopen met een vloeiende curve verkrijgen we de nautilus-spiraal = de zonnebloemspiraal.

Dit is een speciale spiraal, een zelf-gelijkende curve die zijn vorm behoudt op alle schalen (als je je voorstelt dat deze voor altijd uitdraait). Het wordt gelijkhoekig genoemd omdat een radiale lijn vanuit het midden altijd dezelfde hoek maakt met de curve. Deze curve was bekend bij Archimedes van het oude Griekenland, de grootste meetkundige van de oudheid, en misschien van alle tijden.

We zouden echt moeten denken aan deze curve die voor eeuwig zowel als naar buiten naar binnen toe spiraliseert. Het is moeilijk om te tekenen; je kunt visualiseren dat water rond een klein putje wervelt, dichterbij wordt getrokken terwijl het spiraliseert maar nooit naar binnen valt. Dit effect wordt geïllustreerd door een andere klassieke hersenkraker:

Vier beestjes staan ​​op de vier hoeken van een vierkant. Ze hebben honger (of eenzaam) en op hetzelfde moment zien ze elk de wants in de volgende hoek en beginnen ze er naartoe te kruipen. Wat gebeurt er?

De foto vertelt het verhaal. Terwijl ze naar elkaar toe kruipen, spiraalsgewijs in het midden, vormen ze altijd een steeds kleiner vierkant, draaien zich voor altijd om en rond. Toch bereiken ze elkaar! Dit is geen paradox omdat de lengte van deze spiraal eindig is. Ze volgen dezelfde gelijkhoekige spiraal.

Omdat al deze spiralen op zichzelf lijken, zien ze er op elke schaal hetzelfde uit – de schaal doet er niet toe. Het gaat om de verhouding – deze spiralen hebben een vaste verhouding die hun vorm bepaalt. Het blijkt dat deze verhouding dezelfde is als de verhoudingen die worden gegenereerd door opeenvolgende ingangen in de Fibonacci-reeks: 5: 3, 8: 5,13: 8, enzovoort. Dit is de berekening:

Fibonacci proporties

Naarmate we verder in de reeks gaan, beginnen de verhoudingen van aangrenzende termen een vaste grenswaarde van 1,618034 na te streven. . . Dit is een zeer beroemde verhouding met een lange en geëerde geschiedenis; de Gulden Snede van Euclides en Aristoteles, de goddelijke proportie van Leonardo daVinci, beschouwd als de mooiste en belangrijkste hoeveelheden. Dit aantal heeft meer verleidelijke eigenschappen dan je je kunt voorstellen.

Door eenvoudige berekening zien we dat als we 1 aftrekken, we .618 krijgen. . wat wederzijds is. Als we er 1 toevoegen, krijgen we 2.618. . . wat het vierkant is.

Met behulp van de traditionele naam voor dit nummer, de Griekse letter f (“phi”), kunnen we symbolisch schrijven:

Het oplossen van deze kwadratische vergelijking die we verkrijgen

Hier zijn enkele andere vreemde maar fascinerende uitdrukkingen die kunnen worden afgeleid:

 , een oneindige waterval van vierkantswortels.

 , een oneindige cascade van breuken.

Als we deze gulden snede als basis gebruiken, kunnen we een expliciete formule voor de Fibonacci-cijfers opstellen:

Formule voor de Fibonacci-nummers:

Maar de Grieken hadden een meer visueel standpunt over het gulden middenveld. Ze vroegen: wat is de meest natuurlijke en goed geproportioneerde manier om een ​​lijn in 2 stukken te verdelen? Ze noemden dit een sectie . De Grieken voelden sterk dat het ideaal overeen moest komen met de verhouding tussen de delen met die van de delen tot het geheel. Dit resulteert in een deel van exact f .

Het vormen van een rechthoek met de secties van de lijn als zijkanten resulteert in een visueel aangename vorm die de basis was van hun kunst en architectuur. Deze esthetiek werd door de grote kunstenaars uit de Renaissance in hun schilderkunst overgenomen en is vandaag nog steeds bij ons.

Dan Reich

Afdeling Wiskunde Temple Universiteit

Leave a Reply