Visualisatiesoftware voor differentiële geometrie

Link: https://cs.nyu.edu/~deigen/senior-thesis/

David Eigen
[email protected]

Mijn afstudeerscriptie (link hieronder) was / is een differentiaal geometrie visualisatie softwarepakket dat ik ontwikkelde in Brown met Prof. Banchoff in de loop van vier zomers, 2000-2003.

Het is sindsdien toegepast op nog meer toepassingen en laboratoria in de afgelopen jaren sinds ik eraan heb gewerkt. Een van de nieuwste sets is GridSpace .

Mijn scriptiebeschrijving is hier . 

Een geselecteerd laboratorium / demonstratie op de stelling van Gauss-Bonnet staat hieronder.

Deze applet opent de volgende vensters:

  • Een besturingsvenster waarin u functies en variabelen kunt wijzigen.
  • De vlakke kromme X (t) = (t, t ^ 2 – 1), met parallelle krommen en eindkappen.
  • Het omwentelingsoppervlak Y dat wordt gegenereerd door X (t) rond de Y-as te draaien.
  • De normale kaart van Y (paarse secties zijn verschoven ten opzichte van de groene secties).
  • Een verstoorde dwarsdoorsnede van de normale kaart.

In het geval van een gesloten oppervlak stelt de Gauss-Bonnet-stelling dat de totale kromming van een oppervlak 2 * pi * chi is, waarbij chi de Euler-karakteristiek is (zie hier voor meer details). Als er geen gaten zijn, is de totale kromming 4 * pi.

Dit wordt geïllustreerd met een omwentelingsoppervlak, waarbij de normale kaart symmetrisch is en dus gemakkelijker kan worden bekeken met een verstoorde dwarsdoorsnede. De parallelle krommen en hun overeenkomstige gebieden in het oppervlak en de normale kaart zijn paars gekleurd, terwijl de einddoppen groen zijn. Regio’s op het oppervlak en normale kaarten met positieve kromming zijn licht, terwijl gebieden met een negatieve kromming donker zijn.

In de normale kaart wordt elk punt precies eenmaal positief bedekt, waardoor de totale kromming van het oppervlak 4 * pi wordt.

Probeer de afstand van de parallelle krommen te veranderen, R. Wat gebeurt er wanneer de kleinere parallelle kromme zichzelf snijdt? U kunt ook de curve X (t) wijzigen.

Leave a Reply