Maak een hyperbolische Football !

Link: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/hyperbolic_football/index.html

We kennen allemaal de fundamentele Euclidische geometrie van het vlak, inclusief het gedrag van evenwijdige lijnen en hoeken in driehoeken. Deze vertrouwdheid kan ons ertoe brengen dat het een natuurwet is dat parallelle lijnen altijd op dezelfde afstand van elkaar staan en de som van de hoeken van een driehoek 180 ° is. Het doel van deze activiteit is om ons van deze misvatting te distantiëren. Hieronder staan materialen en aanwijzingen om een aantrekkelijk tweedimensionaal model van negatief gekromde (hyperbolische) ruimte te bouwen (de hyperbolische voetbal genoemd). We beschrijven ook een activiteit om dit model te gebruiken om de basisgeometrie van parallelle lijnen, vierhoeken en driehoeken in het hyperbolische vlak te verkennen. Dit is een activiteit die geschikt is voor een wiskundecirkel of klasactiviteit. Dit is op veel niveaus van 5/6 klas uitgevoerd via universitaire docenten. Instructies voor deze activiteit. Een 2 pagina’s .pdf document met kleurenafbeeldingen en diagrammen. Poster en hand-out van de 2013 Joint Mathematical Meetings in San Diego, CA.


Hyperbolische voetballen bij Universiteit Ilorin, Nigeria. Juni 2012.Richtingen We bieden vier verschillende papiersjablonen voor het maken van hyperbolische voetbal. Voor elk daarvan moet u sjablonen afdrukken met hexagons en heptagons. Om je modellen te monteren, heb je een schaar en tape nodig. Het is belangrijk om voorzichtig te zijn bij het knippen en tapen; dit zijn precisiemodellen. Knip op de lijnen, niet buiten of binnenin. Plak de stukjes van rand tot rand en zorg ervoor dat ze goed op elkaar liggen. Elke rand kan één of twee stukken tape nodig hebben – plaats geen tape over de hoeken (hoekpunten), want daar krijgt het model de kromming. Plak ook de nietafgedrukte tape

kant; dit maakt een mooier model. Zodra een rand is geplakt, tape de randen ernaast. Je moet deze extra randen apart van elkaar plagen met 60/7 graden zodat de nieuwe randen op een lijn liggen voordat je ze vastmaakt. Het model zal niet plat liggen, waar dan ook.
De hyperbolische voetbal is oneindig in omvang; je kunt altijd blijven toevoegen aan je model. Het is ook zeer symmetrisch. Elke heptagon is omgeven door zeven zeshoeken, elke zeshoek is omgeven door drie zeshoeken en drie heptagons, die elkaar afwisselen. Elke vertex heeft twee hexagons en één heptagon. Dus om aan je model toe te voegen, knip je meer zeshoeken en heptagons uit en herhaal je gewoon het patroon.

Gemakkelijkste

Dit eerste model is ontworpen door D. Henderson in samenwerking met Cabinet Magazine . Hier zijn enkele online instructies . Hiervoor wilt u misschien een instructieblad afdrukkenen hebt u drie sjablonen nodig . Dit is het eerste model in onze galerij. Het tikken van de onbedrukte kant geeft een netter model en vergemakkelijkt de wiskundige activiteit hieronder. Het is een goed idee om tape (zoals Scotch tape) te gebruiken waarop kan worden geschreven. Ik stel een verbetering voor van dit model. De onregelmatig gevormde stukken bevatten elk een onderscheiden zeshoek met een zwarte stip in het midden, en de instructies vragen je om drie samen bovenop elkaar te bevestigen, waardoor het midden van je model wordt gevormd. Ik raad aan om dit zeshoek uit twee van de drie sjablonen te knippen en het resterende deel van de sjablonen op de resterende centrale zeshoek te plakken.

Een ander model, gebruikt in de activiteiten van Sottile

Centrum              Kant                      Extra                   heptagons

Deze heeft vrij grote (3 cm aan een zijkant) polygonen en kan worden gebruikt om een ​​redelijk groot model te maken. Het is belangrijk om hoogwaardig papier te gebruiken en heel voorzichtig te zijn met het tapen, want de inherente spanningen in een groot model kunnen het papier scheuren.

Print wat u nodig heeft op wit papier. Ik geef de voorkeur aan extreem helder en dik papier. U hebt één kopie van het midden (HF_Center.pdf) en één of twee exemplaren van de kant nodig (HF_Side.pdf). Snijd alleen op de stippellijnen en knip de heptagons uit.

Plak een heptagon in het centrale gat van het midden (HF_Center.pdf); hierdoor gaat de zeshoekige ring open en is er ruimte voor een extra zeshoek. Gebruik degene die je uit het gat hebt gesneden. De zeshoeken vormen een ring rond de heptagon en aan de buitenkant van deze ring zijn verschillende inkepingen gevormd door drie zeshoeken. Tape in twee heptagons in twee van deze die naast elkaar liggen. Vervolgens kan de strook van zeven zeshoeken aan de zijkant (HF_Side.pdf) eraan worden vastgemaakt. Je model zal bijna symmetrisch zijn met drie heptagons rond een centrale zeshoek en omgeven door een ring van 15 zeshoeken, met een extra zeshoek die de symmetrie doorbreekt. Als je dat wenst,

Het derde blad bevat drie patronen van elk vier zeshoeken voor bevestiging aan deze nieuwe heptagons, waardoor een groter model mogelijk is.

Grootste en meest uitbreidbaar

Sjabloon A        Sjabloon B         Sjabloon C     Sjabloon D       Sjabloon E

Dit heeft de grootste polygonen en kan worden gebruikt om een ​​redelijk groot model te maken. Om een ​​groot model te maken, is het belangrijk om hoogwaardig papier te gebruiken en heel voorzichtig te zijn met het tapen, want de inherente spanningen in een groot model kunnen het papier scheuren.

Print wat u nodig heeft op wit papier. Drie exemplaren van Template A (Hyperbolic_Football_A.pdf) vormen een interessant model dat identiek is aan het model van Henderson. U moet op de stippellijnen snijden en de centrale zeshoek moet geheel worden verwijderd (er is een snede in aangebracht), omdat er een nodig is in het midden van dit model.

Om meer aan uw model toe te voegen, print u zoveel mogelijk van de sjablonen uit als u nodig hebt. Sjabloon C heeft twee extra zeshoeken die u in uw model wilt uitknippen en gebruiken.

Meest snijden (maar met kleur)

Dit model is hierboven afgebeeld met de paarse heptagons.

Print de heptagons (7-zijdige figuren) op gekleurd papier en zeshoeken op wit papier. Gebruik dezelfde printer en probeer de verhouding heptagons te krijgen: zeshoeken in de buurt van 3: 7. Knip de figuren voorzichtig uit en plak ze op elkaar (plak tape op de afgedrukte kant van het papier om een ​​netter model te krijgen). Elke heptagon is afgeplakt tot zeven zeshoeken, en elke hexagon tot drie heptagons en drie hexagons, afwisselend. (Zie de foto’s hierboven.)

heptagons                                    Hexagons

Wiskundige activiteiten met uw model

Een lijn tekenen

Begin met een van de bovenstaande modellen, hoewel het gebruik van een grote buitengewoon omslachtig is. Rechts is het laatste model hierboven, vanaf de 2013 Gemeenschappelijke Wiskunde Vergaderingen. Draai het om en schrijf op de achterkant (de onbedrukte kant).

Terwijl dit model gebogen is, is elke polygoon vlak (deze is uit een enkel stuk papier gesneden). Ook kunnen twee aangrenzende polygonen plat worden gelegd. Om een ​​lijn op het model te tekenen, maakt u een afvlakking van een deel van het model om de lijn te starten en gebruikt u een korte (<15 cm) richtliniaal om de lijn over het model voort te zetten, waarbij zo nodig paren polygonen worden afgevlakt. Probeer te voorkomen dat de lijn door een hoekpunt loopt.

Nadat u uw lijn volledig over het model hebt getekend, kunt u deze lijn oppakken, langs de lijn rechtzetten en de lijn bekijken om te zien of deze recht is. Van bovenaf gezien lijkt het krom te lopen, maar dat is een illusie omdat het op een gebogen oppervlak wordt getekend.

Parallellen divergeren

Nadat u een eerste lijn hebt getekend, selecteert u een punt en tekent u een kort lijnsegment mloodrecht erop. Start vervolgens een nieuwe lijn loodrecht op m en verleng deze derde lijn over het model. De eerste en derde lijnen, omdat ze een gemeenschappelijke loodrechte m delen , zijn parallel. Als m lang genoeg is, zeg bijna de hoogte van een zeshoek zoals rechts, dan zou je in staat moeten zijn om de interessante eigenschap op te merken die de twee lijnen lijken te ‘krommen’ uit elkaar. Ze buigen niet, maar de afstand tussen hen neemt toe naarmate ze verder komen van de gemeenschappelijke loodrechte m , die hun enige gemeenschappelijke loodlijn is.

Deze divergentie is meer uitgesproken voor een langere gemeenschappelijke loodrechte m .

Het parallelle postulaat en     het parallelle postulaat van een Lambert-vierhoekige
euclides , (of beter gezegd het equivalente Playfair-axioma), stelt dat:
Maximaal één lijn kan door elk punt worden getrokken, niet op een bepaalde lijn evenwijdig aan de gegeven lijn in een vlak.
Dit is gemakkelijk te zien om het hyperbolische vlak niet vast te houden. Kies inderdaad op een van de parallelle lijnen uit de vorige stap een punt P dat niet op de gemeenschappelijke loodlijn m ligt . Een loodlijn laten vallen van P naar de andere lijn en dan loodrecht daarop staan ​​door Pgeeft een tweede lijn door P die evenwijdig is aan de oorspronkelijke lijn.

De twee oorspronkelijke parallellen en twee loodlijnen vormen samen een Lambert Quadrilateral die drie rechte hoeken en één scherpe hoek heeft (bij P ).

Driehoeken

Probeer nu een driehoek te tekenen. Hiervoor is het het beste om een ​​grote driehoek te maken. Als u klaar bent, meet u de hoeken. Dit is gemakkelijker gezegd dan gedaan, omdat je een gradenboog op het hyperbolische papier niet kunt passen. Ik geef er de voorkeur aan een boog op een klein deel van een cirkel te markeren (uit een stuk papier gesneden), de halve cirkel op een plat oppervlak te leggen en dan mijn gradenboog te gebruiken.

Hoe je het ook doet, je zou moeten constateren dat de hoeken een som hebben die kleiner isdan 180 °. Bijvoorbeeld, in de driehoek rechts, is de som minder dan 180 ° visueel onmiddellijk. In feite werden de hoeken gemeten als zijnde 43 °, 40 ° en 28 °, voor een hoeksom van 111 °, plus of minus enige meetfout.

Het is mogelijk om een ​​analoge meting van de som te gebruiken. Markeer drie opeenvolgende bogen langs een klein deel van een cirkel, dan moet de som waarschijnlijk minder dan 180 ° bedragen. Dit is leuk om te doen in een groep, want verschillende deelnemers maken verschillende driehoeken en je kunt de verschillende hoeksommen bespreken die ze krijgen.

Kromming

We leggen uit wat de betekenis is van de hoeksom (en ook wat is de scherpe hoek in onze Lambert quadrilateral hierboven). Als je echt zorgvuldige deelnemers hebt, kan dit een fascinerende ontdekkingsactiviteit zijn.

We merkten op dat het model grotendeels vlak is. In feite is de kromming ervan geconcentreerd op de hoekpunten, waar twee zeshoeken en een zevenhoek elkaar ontmoeten. De som van de hoeken op dat hoekpunt is

vertex ∠ hexagon + vertex ∠ hexagon + vertex ∠ heptagon
= 120 ° + 120 ° + (180 ° -360 / 7 °) = 360 ° + 60/7 °.

Er is dus een overmaat van 60/7 °, wat ongeveer 8,6 ° is. Volgens afspraak zeggen we dat de kromming bij elke hoekpunt -8,6 ° is, wat we als een δ-functie beschouwen, omdat de kromming overal elders nul is. De integraal van de kromming over een gebied is dus -8,6 N °, waarbij N het aantal hoekpunten in dat gebied is.

Er zijn 8 hoekpunten in onze driehoek, dus de integraal van de kromming over de driehoek is 8 keer -8,6 °, wat ongeveer -68,6 ° is, en is bijna precies de afwijking van onze hoeksom (111 °) van de Euclidische driehoekshoek som van 180 °.

Dit is natuurlijk geen toeval, maar een voorbeeld van de algemene stelling. Dit heeft verschillende consequenties. Ten eerste heeft onze Lambert quadrilateral een scherpe hoek (90-60 / 7) °, wat ongeveer 81,4 ° is. Veel boeiender, wat je op een groot model kunt zien, is dat een driehoek geen 21 of meer hoekpunten (3 heptagons) kan bevatten.
Ik heb hierover gegevens verzameld van verschillende klassen studenten. Deze worden weergegeven en beschreven op de pagina Driehoeken in hyperbolische ruimte

Leave a Reply