Meting van het zonnestelsel

Link: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/gkastr1.html

Michael Fowler UVa Natuurkunde Afdeling

In deze lezing zullen we laten zien hoe de Grieken de eerste echte metingen van astronomische afstanden deden: de grootte van de aarde en de afstand tot de maan, beide tamelijk nauwkeurig bepaald, en de afstand tot de zon, waar hun beste schatting tekortschoot bij een factor twee.

Hoe groot is de aarde?

De eerste redelijk goede meting van de grootte van de aarde werd gedaan door Eratosthenes , een Griek die leefde in Alexandrië, Egypte, in de derde eeuw voor Christus. Hij wist dat ver naar het zuiden, in de stad Syene (het tegenwoordige Aswan, waar er nu een enorme dam op de Nijl) was er een diepe put en op de middag op 21 juni weerkaatste het zonlicht het water diep in deze put, iets dat op geen enkele andere dag van het jaar gebeurde. Het punt was dat de zon precies verticaal boven op dat moment en op geen andere tijd in het jaar was. Eratosthenes wist ook dat de zon nooit verticaal boven in Alexandrië stond, het dichtst bij die was op 21 juni, toen hij een hoek had van ongeveer 7,2 graden, door de schaduw van een verticale stok te meten.

De afstand van Alexandrië tot Syene werd gemeten bij 5.000 stadiën (een straat van 500 voet), bijna precies ten zuiden. Hieruit, en het verschil in de hoek van zonlicht op de middag op 21 juni, was Eratosthenes in staat om uit te zoeken hoe ver het zou zijn om volledig rond de aarde te gaan.

Natuurlijk erkende Eratosthenes volledig dat de aarde bolvormig van vorm is en dat “verticaal naar beneden” ergens op het oppervlak precies de richting naar het centrum betekent vanaf dat punt. Dus twee verticale stokjes, een in Alexandrië en een in Syene, waren niet echt parallel. Anderzijds, de zonnestralen vallen op twee plaatsen waren parallel. Daarom, als de zonnestralen parallel waren aan een verticale stok bij Syene (dus het had geen schaduw), was de hoek die ze maakten met de stok in Alexandrië dezelfde als hoe ver rond de aarde, in graden, Alexandrië van Syene was.

Volgens de Griekse historicus Cleomedes heeft Eratosthenes de hoek tussen het zonlicht en de stok in de middag in Alexandrië gemeten op 7,2 graden, oftewel een vijftigste van een volledige cirkel. Het is duidelijk dat we hier een tekening van maken dat dit dezelfde hoek is als die tussen Alexandrië en Syene, gezien vanuit het centrum van de aarde, dus de afstand tussen hen, de 5000 stadions, moet een vijftigste zijn van de afstand rondom de aarde. aarde, die daarom gelijk is aan 250.000 stadia, ongeveer 23.300 mijlen. Het juiste antwoord is ongeveer 25.000 mijlen, en in feite is Eratosthenes mogelijk dichterbij geweest dan we hier hebben gezegd – we weten niet precies hoe ver een stap was, en sommige geleerden beweren dat het ongeveer 520 voet was, wat hem zou plaatsen nog dichterbij.

Hoe hoog is de maan?

Hoe beginnen we de afstand van de aarde tot de maan te meten? Een voor de hand liggende gedachte is om de hoek naar de maan te meten vanuit twee ver uit elkaar gelegen steden tegelijkertijd, en een vergelijkbare driehoek te construeren, zoals Thales de afstand van het schip op zee meet. Helaas was het verschil in hoek tussen twee punten op een paar honderd kilometer afstand te klein om meetbaar te zijn met de technieken die op dat moment in gebruik waren, dus die methode zou niet werken.

Niettemin kwamen Griekse astronomen, beginnend met Aristarchus van Samos (ongeveer 310-230 v.Chr.), Met een slimme methode om de afstand van de maan te vinden, door een maansverduistering nauwkeurig te observeren, wat gebeurt wanneer de aarde de maan tegen het zonlicht beschermt .

Voor een korte film ter illustratie van een maansverduistering, klik hier!

Om een maansverduistering beter te visualiseren, stel je voor dat je een kwart (ongeveer een inch bij benadering) ophoudt op de afstand waar het net de zonnestralen van een oog blokkeert. Natuurlijk moet je dit niet proberen — je zult je oog beschadigen! Je kunt het proberen met de volle maan, wat toevallig dezelfde schijnbare grootte in de lucht is als de zon. Het blijkt dat de juiste afstand ongeveer negen voet weg is, of 108 centimeter. Als het kwartier verder weg is, is het niet groot genoeg om al het zonlicht te blokkeren. Als het dichterbij is dan 108 inch, blokkeert het het zonlicht volledig van een klein cirkelvormig gebied, dat geleidelijk groter wordt in de richting van het kwartier. Dus het deel van de ruimte waar het zonlicht volledig isgeblokkeerd is conisch, zoals een lange, langzaam toelopende ijskegel, met het punt 108 centimeter achter het kwartier. Natuurlijk is dit omgeven door een vager gebied, de “penumbra”, waar het zonlicht gedeeltelijk wordt geblokkeerd. Het volledig gearceerde gebied wordt de “umbra” genoemd. (Dit is Latijn voor schaduw.) Paraplu betekent kleine schaduw in het Italiaans.) Als je een kwart meet aan het einde van een dunne stok en deze op de juiste manier in de zon houdt, kun je deze verschillende schaduwgebieden zien.

Vraag: Als je een dubbeltje zou gebruiken in plaats van een kwart, hoe ver zou je het dan vanuit je oog moeten houden om het volle maanlicht van dat oog te blokkeren? Hoe verhouden de verschillende afstanden zich tot de relatieve grootte van het dubbeltje en het kwart? Teken een diagram met de twee kegelvormige schaduwen.

Stel je nu voor dat je in de ruimte bent, op enige afstand van de aarde, kijkend naar de schaduw van de aarde. (Natuurlijk kun je het alleen echt zien als je een wolk kleine deeltjes hebt afgeschoten en hebt gekeken welke van hen glinsterde in het zonlicht en die in het donker waren.) Het is duidelijk dat de schaduw van de aarde conisch moet zijn, net als die van de kwart. En het moet ook vergelijkbaar zijn met de kwartalen in technische zin – het moet 108 aardingsdiameters lang zijn! Dat komt omdat het punt van de kegel het verste punt is waarop de aarde al het zonlicht kan blokkeren, en de verhouding van die afstand tot de diameter wordt bepaald door de hoekgrootte van de zon die wordt geblokkeerd. Dit betekent dat de kegel 108 aardse diameters lang is, het verre punt 864.000 mijlen van de aarde.

Nu, tijdens een totale maansverduistering beweegt de maan zich in deze kegel van duisternis. Zelfs wanneer de maan zich volledig in de schaduw, kan het nog steeds worden vaag gezien, als gevolg van licht verstrooid door de atmosfeer van de aarde. Door het observeren van de maan zorgvuldig tijdens de eclips, en zien hoe de schaduw van de aarde viel, vond de Grieken dat de diameter van conische de schaduw van de aarde op een afstand van de maan was eigen diameter van ongeveer twee-en-een-half keer de maan .

Opmerking: Het is mogelijk om deze schatting ofwel controleren van een foto van de maan het invoeren van de schaduw van de aarde, of beter, door de feitelijke waarneming van een maansverduistering .

Vraag: Op dit punt wisten de Grieken de afmeting van de aarde (ongeveer een bol met een diameter van 8000 mijl) en daarom de grootte van de conische schaduw van de aarde (lengte 108 keer 8.000 mijl). Ze wisten dat wanneer de maan de schaduw passeerde, de schaduwdiameter op die afstand 2,5 maal de diameter van de maan was. Was dat genoeg informatie om uit te zoeken hoe ver de maan was verwijderd?

Wel, het vertelde hen dat de maan niet verder weg was dan 108×8.000 = 864.000 mijl, anders zou de maan helemaal niet door de schaduw van de aarde gaan! Maar van wat we tot nu toe hebben gezegd, zou het een kleine maan kunnen zijn die bijna 864.000 mijl verderop ligt en die laatste stukje schaduw in de buurt van het punt passeert. Dit zou echter een kleine maan nooit een veroorzaken zonne- eclips. Zoals de Grieken goed wisten, heeft de maan dezelfde schijnbare grootte aan de hemel als de zon . Dit is het cruciale extra feit dat ze gebruikten om de afstand van de maan tot de aarde te bepalen.

Ze hebben het probleem opgelost met behulp van geometrie, en construeren de figuur hieronder. In deze figuur betekent het feit dat de maan en de zon dezelfde schijnbare grootte aan de hemel hebben, dat de hoek-ECD gelijk is aan de hoek EAF. Merk nu op dat de lengte FE de diameter is van de schaduw van de aarde op de afstand van de maan, en de lengte ED de diameter van de maan is. De Grieken vonden bij observatie van de maansverduistering dat de verhouding van FE tot ED 2,5 tot 1 was, dus als we naar de gelijkbenige driehoeken FAE en DCE kijken, leiden we af dat AE 2,5 keer zo lang is als EC, waarvan AC 3,5 keer is zolang als EC. Maar ze wisten dat AC 108 aardse diameters lang moet zijn en dat de diameter van de aarde 8000 mijl moet zijn, het verste punt van de conische schaduw, A, is 864.000 mijl van de aarde verwijderd. Uit het bovenstaande argument is dit 3,5 keer verder weg dan de maan, dus de afstand tot de maan is 864.000 / 3.5 mijl, ongeveer 240.000 mijlen. Dit is binnen een paar procent van de juiste figuur. De grootste bron van fouten is waarschijnlijk de schatting van de verhouding van de grootte van de maan tot die van de schaduw van de aarde terwijl deze passeert.

Hoe ver weg is de zon?

Dit was een nog moeilijkere vraag die de Griekse astronomen zichzelf hadden gesteld, en ze deden het niet zo goed. Ze kwamen met een heel ingenieuze methode om de afstand van de zon te meten, maar het bleek te veeleisend omdat ze de belangrijke hoek niet nauwkeurig genoeg konden meten. Toch leerden ze van deze benadering dat de zon veel verder weg was dan de maan, en bijgevolg, omdat het dezelfde schijnbare grootte heeft, moet het veel groter zijn dan de maan of de aarde.

Hun idee om de afstand van de zon te meten was in principe heel eenvoudig. Ze wisten natuurlijk dat de maan scheen door het licht van de zon te weerkaatsen. Daarom redeneerden ze, wanneer de maan precies half vol lijkt te zijn, de lijn van de maan naar de zon precies loodrecht op de lijn van de maan naar de waarnemer moet zijn (zie de figuur om jezelf hiervan te overtuigen). Dus als een waarnemer op aarde, bij het waarnemen van een halve maan bij daglicht, zorgvuldig de hoek meet tussen de richting van de maan en de richting van de zon, de hoek a in de figuur, zou hij in staat moeten zijn om een lange dunne driehoek te construeren , met zijn basislijn de aarde-maanlijn, met een hoek van 90 graden aan het ene uiteinde en een aan het andere uiteinde , en dus de verhouding van de zonafstand tot de afstand van de maan.

Het probleem met deze benadering is dat de hoek a van 90 graden afwijkt met ongeveer een zesde graad, te klein om nauwkeurig te meten. De eerste poging was van Aristarchus, die de hoek schatte op 3 graden. Dit zou de zon slechts vijf miljoen mijl ver weg plaatsen. Het zou echter al suggereren dat de zon veel groter is dan de aarde . Het was waarschijnlijk dit besef dat Aristarchus ertoe bewoog te suggereren dat de zon, in plaats van de aarde, in het centrum van het universum was. De beste latere Griekse pogingen vonden de afstand van de zon ongeveer de helft van de juiste waarde (92 miljoen mijl).

De presentatie hier is vergelijkbaar met die in Eric Rogers, Natuurkunde voor de onderzoekende geest , Princeton, 1960.

Sommige oefeningen met betrekking tot dit materiaal worden gepresenteerd in mijn aantekeningen voor natuurkunde 621 .

Leave a Reply